אין כאן סתירה .
מה שגודל הוכיח הוא שקיימים משפטים שלא ניתן להוכיח אותם על סמך כל האקסיומות הקיימות בעזרת מעברים לוגיים,כעת כמובן ניתן להוסיף אותם בתור אקסיומות, אבל הדבר המעניין הוא שאם נוסיף אותם אז יהיו משפטים חדשים שלא נוכל להוכיח בעזרת כל האקסיומות כרגע.הסיבה היא שהמשפטים שהוא יצר נוצרו בעזרת כל האקסיומות הקיימות - כלומר לא בעזרת כללים לוגיים מהאקסיומות אלא בעזרת כללים שמחוץ ללוגיקה.ולכן משפט זה קובע שקיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם בעזרת כללי לוגיקה , אבל ייתכן וזה דבר חשוב שניתן להוכיחם בדרכים שונות מ"חוץ" ללוגיקה.
ממליץ מאוד לקרוא את משפט גדל מאת ארנסט נאגל וג,ימס ניומן, קיים תרגום בעברית בהוצאת הטכניון מאת יעל הרפז ונצה מובשוביץ.זה ממש מעניין וחכם , ולפי דעתי מי שיודע לוגיקה בצורה בינונית יכול להסתדר עם זה.