מדוע
סכום של אידאלים בחוג
הוא גם אידאל??

צריך להראות סה"כ שהסכום הוא תת-חבורה חיבורית, ושהוא סגור לכפל באיבר מן החוג
וכדי להוכיח שמדובר בת"ח חיבורית צריך להראות שהיא סגורה לחיבור והפכי (ביחס לחיבור)

נקרא לאידיאלים A ו-B, ולחוג R
ההוכחה היא ממש פשוטה, כל מה שצריך הוא להציג את המבוקש כסכום של איברים מ-A ו-B


1. סגירות לחיבור:
אם [TEX]a_1+b_1 , a_2+b_2 \in A+B[/TEX] כאשר [TEX]a_1 , a_2 \in A[/TEX] ו-[TEX]b_1 , b_2 \in B[/TEX]
אזי סכומם [TEX](a_1+b_1) + (a_2+b_2) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2) \in A+B[/TEX]
כי [TEX]a_1+a_2 \in A[/TEX] ו-[TEX]b_1+b_2 \in B[/TEX]


2. סגירות לנגדי (ביחס לחיבור):
אם [TEX]a+b \in A+B[/TEX] כאשר [TEX]a \in A[/TEX] ו-[TEX]b \in B[/TEX]
אזי האיבר הנגדי [TEX]-(a+b) = (-a) + (-b) \in A+B[/TEX]
כי [TEX]-a \in A[/TEX] ו-[TEX]-b \in B[/TEX]


3. סגירות ביחס לכפל באיבר מהחוג:
אם [TEX]a+b \in A+B[/TEX] כאשר [TEX]a \in A[/TEX] ו-[TEX]b \in B[/TEX], וגם [TEX]r \in R[/TEX]
אזי המכפלה [TEX]r(a+b) = (ra) + (rb) \in A+B[/TEX]
כי [TEX]ra \in A[/TEX] ו-[TEX]rb \in B[/TEX]


וזהו, עד כדי כך פשוט

המעניין הוא שסכום אידיאלים הוא גם האידיאל "הקטן ביותר" המוכל בשניהם
בעוד חיתוכם הוא האידיאל "הגדול ביותר" המוכל בשניהם..

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אין בעד מה

נ.ב. להבא אולי כדאי לפרט בנושא האשכול קצת מעבר ל"שאלה במתמטיקה"

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.