רציתי לשאול מדוע תת החבורה An (חבורת התמורות הזוגיות)היא מאינדקס 2(בעלת 2 מחלקות שונות)

פונקציית הסימן [TEX]S_n \to \{ +1, -1 \}[/TEX] היא הומומורפיזם שחבורת התמורות הזוגיות היא הגרעין שלו

ולכן, ממשפט האיזומורפיזם הראשון נובע:
[TEX]S_n/A_n \cong \{ +1, -1 \}[/TEX]

ומכאן:
[TEX]\left|S_n/A_n\right| = \frac{\left|S_n\right|}{\left|A_n\right|} = \left|\{ +1, -1 \}\right| = 2[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

באותו עינין
כיצד ניתן להראות ש-תת חבורה מאינדקס 2 היא תת חבורה נורמאלית

תת-חבורה היא נורמלית אם"ם היא מקיימת [TEX]gN=Ng[/TEX] לכל [TEX]g\in G[/TEX]
אבל מכיוון שאינדקס החבורה הוא 2, המחלקות הללו חייבות להיות שוות
(נניח שלא, ואז אחת מהן חייבת להיות N עצמה, כי יש רק 2 מחלקות, אבל אז יוצא ש-g גם שייכת ל-N, ומכאן שגם המחלקה השנייה היא N)


ואין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מזל ששאלת, גם ככה הייתי צריך לחזור על זה (חמישי בוחן אמצע ) וכדי לענות לך הייתי חייב להבין
אז אני אנסה, ואם יש טעויות או אי הבנות אני אשמח לשמוע:

- תהיה [tex](a,b)[/tex] טרנספוזיציה (שהיא כמובן אי זוגית, כמו כל טרנספוזיציה), ונגדיר העתקה:
[tex]f:A_n\to S_n\setminus\left \{ A_n \right \}[/tex]
שהיא כמובן העתקה מהתמורות הזוגיות לאי זוגיות אשר תוגדר:
[tex]f(\pi)=(a,b)\cdot\pi , \pi\in A_n[/tex]
מה שאנחנו צריכים להראות זה התאמה חח"ע ועל בין התמורות הזוגיות לאי זוגיות.
"קל" להראות כי:
[tex]\forall \pi_i\neq \pi_j \Rightarrow f(\pi_i)\neq f(\pi_j)[/tex]
שכמובן נובע מתכונת הצמצום שמתקיימת בחבורה...על כן הוכחו חד ערכיות.
נוכיח f על:
נרצה להוכיח שאם קיימת [tex]\sigma[/tex] תמורה אי זוגית, אזי בהכרח קיים [tex]\pi[/tex] שעבורו מתקיים: [tex]f(\pi)=\sigma\pi[/tex]
נגדיר:
[tex]\pi=(a,b)\sigma[/tex]
שהיא תמורה זוגית (שניהם אי זוגיים) וע"כ קיימת בהכרח ונציב:
[tex]\pi=(a,b)\sigma \Rightarrow f(\pi)=(a,b)(a,b)\sigma=I\sigma=\sigma[/tex]
ומש"ל


או מה ששובי אמר...