יש לי שדה הרחבה של הרציונאלים
השדה הוא הרציונאלים והאיבר שורש שלישי של 2
איך אוכל למצוא את המימדד של שדה הרחבה זה מעל הרציונאלים
ברור לי שזה 3 , אבל אני לא בטוחה באיך להוכיח זאת(ובלי איזנשטיין בבקשה, טרם נילמד...)
?

נובע ישירות ממה שכתבת באשכול הקודם

מימד ההרחבה של [TEX]\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}][/TEX] מעל [TEX]\mathbb{Q}[/TEX] הוא מעלת הפולינום המינימלי של [TEX]\sqrt[3]{2}[/TEX] מעל [TEX]\mathbb{Q}[/TEX]
והפולינום המינימלי הוא [TEX]x^3-2[/TEX]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

איך להראות שזה הפולינום המינימאלי ובלי אייזנשטיין כמובן??

כי זהו פולינום ממעלה 3, אילו הוא היה פריק מעל השדה אזי היה לו שורש בשדה, אבל אנו יודעים שהשורשים שלו לא ראציונליים
(אחד הוא שורש שלישי של 2, והשאר הם מרוכבים)

זה נכון רק עבור פולינומים ממעלה 3 ומטה (שאם הם פריקים אזי חייב להיות שורש), זה כי בפירוק של מעלה שלישית ומטה חייב להיות לפחות אחד מפולינומי הפירוק שהוא לינארי (מעלה 1)
ממעלה 4 והלאה זה לא נכון, כי לדוגמא פולינום ממעלה 4 יכול להתפרק לשני פולינומים ממעלה 2 ושלאף אחד מהם אין שורש בשדה

דוגמא פשוטה: [TEX]f(x) = x^4-4[/TEX]
הפולינום מתפרק מעל הראציונליים בצורה הבאה [TEX]f(x) = x^4-4 = (x^2-2)(x^2+2)[/TEX], ובכל-זאת אין לו שורשים ראציונליים

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.