היי
אני כרגע פותר מבחנים משנים עברו של המרצה שלי, ונתקלתי בתרגיל שאני לא יודע איך לפתור.
אם אפשר קצת כיוון אני אשמח.
צירפתי תמונה קטנה של התרגיל.

לא, כי אם נניח שהיא מקיימת את התנאי על הנק' מהצורה [TEX]\tfrac{1}{2n}[/TEX], נקבל שלפונקציה [TEX]z\cdot f(z)-1[/TEX] יש סדרת אפסים בת-מנייה בעלת נק' הצטברות, ומכאן שהיא שווה זהותית ל-0.
אך אז יוצא ש-f היא פונקציית הזהות, מה שסותר את התנאי על [TEX]\tfrac{1}{2n+1}[/TEX].

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

תודה רבה על התשובה המהירה , אבל סליחה, לא ממש הבנתי. האם תוכל להסביר שוב בבקשה?

אופס.. הייתה לי טעות. היינו צריכים להסתכל על הפונקציה [TEX]g(z) = f(z) - z[/TEX]

אנסה להסביר קצת יותר בהרחבה:
אם f אנליטית אזי בהכרח גם g הנ"ל אנליטית (כי סכום, כפל, שקרכלשהואחר של פונק' אנליטיות הוא גם אנליטי).

עכשיו נסתכל על קבוצת הנקודות [TEX]\left\{\tfrac{1}{2n}\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/TEX], זו קבוצה אינסופית בעלת נק' הצטברות ב-0, אך לפי התנאי ש-[TEX]f(\tfrac{1}{2n}) = \tfrac{1}{2n}[/TEX] נקבל ש-[TEX]g(\tfrac{1}{2n}) = f(\tfrac{1}{2n}) - \tfrac{1}{2n} = \tfrac{1}{2n}-\tfrac{1}{2n} = 0[/TEX] בסדרה זו.
כלומר ל-g יש סדרה אינסופית של נקודות שהיא מתאפסת בהן, ולסדרה הזו יש נק' הצטברות בתחום - מכאן ש-[TEX]g(z)=0[/TEX] בכל התחום (למעשה בכל תחום הקשירות שנק' ההצטברות נמצאת בו, רק שכאן מדובר על כל המרחב) - יש משפט כזה.
אך אם g היא 0 בכל מקום, נקבל ש-[TEX]f(z) = z[/TEX] בכל מקום, וזה סתירה לנתון ש-[TEX]f(\tfrac{1}{2n+1}) = \tfrac{1}{2n}[/TEX].



הרחבה: המשמעות של המשפט לעייל היא שפונקציות אנליטיות הן מאד "נוקשות" ושהן יחידות עבור ערכים נתונים בקבוצה בעלת נק' הצטברות.
כלומר אם 2 פונקציות אנליטיות מקבלות את אותם ערכים בקבוצה בעלת נק' הצטברות בתחום, הן מקבלות את אותם ערכים בכל מקום בתחום הקשירות של נק' ההצטברות.

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ממש תודה לך על הסבלנות. עכשיו גם הבנתי את המשפט שרשום לי במחברת

אין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

רק רציתי להגיד סחטיין על הידע ShoobyD

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://www.fresh.co.il/vBulletin/image.php?u=125298&type=profile&dateline=1289576666]

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

לא סתם הוא עונד את עיטור המומחה שלנו..