"בין שוקי זווית בת 60 מעלות חוסמים סדרת מעגלים באופן הבא :
מעגל ראשון בעל רדיוס כלשהו משיק משיק לשתי שוקי הזווית וכל מעגל החל מהמעגל השני משיק חיצונית למעגל הקודם ולשוקי הזוויות .מה המספר המינימלי של מעגלים הנדרשים כדי שהיחס בין סכום שטחיהם לשטחיו של המעגל הראשון יהיה גדול מ 8 / ( 1 - 20^ 10 ) ?
ונתון כביכול רמז : lg3=0.48 .

איך ניגשים לחרטה הזה ?

בברכת חג חירות שמח לכולם !

???????

מקווה שאתה עדיין צריך את הפתרון.
*השקעתי בהסבר כדי שתבין- התרגיל הזה הוא לא קשה פשוט צריך להבין את החומר*
אז נתחיל:
קודם כל נצייר את מה שרוצים מאיתנו:
קודם כל הסבר:
רוצים בעיקרון מעגלים שחסומים בתוך זווית של 60 מעלות. מה שעשיתי זה ציירתי שלושה מעגלים... העברתי בכולם רדיוס אחד שהגיע עד למפגש המשיקים... (דבר שחצה את הזווית). בכל מעגל הורדתי מהמשיק רדיוס (דבר שייצר משולשים ישרי זווית כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) וקראתי לרדיוס המעגל הראשון r, לדריוס המעגל השני r', ולרדיוס המעגל השלישי r''...
הציור הזה הוא בושה לגיאומטריה אני יודע אבלל אני לא מוכשר בפוטושופ ואני לא מכיר תוכנה אחרת שתוכל לעזור לי.
אז תצטרך לדמיין טוב-טוב... טוב?
אז הנה הוא:




עכשיו... זוכר את המשפט "ניצב מול שלושים מעלות במשולש ישר זווית שווה למחצית היתר".. השתמשתי בו פה... וגם בדמיון משולשים ומצאתי מה היחס בין r ל-r'... יש עוד הרבה אפשרויות למצוא את היחס ביניהם.. אני העדפתי את זאת.




מהשאלה עצמה אפשר להבין שנצטרך להשתמש בסדרה (אנחנו עדיין לא יודעים חשבונית או הנדסית, למרות שניתן לנחש שזו הנדסית בגלל רמז הלוגריתם ויחס הרדיוסים) ושכל איבר בסדרה יהיה שטח מעגל. נבטא באמצעות r את האיבר הראשון והאיבר השני בסדרה:



כלומר ניתן להבין שאנחנו מדברים על סדרה הנדסית. נמצא את מנת הסדרה:



בשאלה מבקשים למצוא את מספר המעגלים כדי שהיחס יהיה יותר גדול מהיחס הנתון.
כלומר נצטרך לפתור את האי שוויון הבא:



נמצא את היחס בין סכום השטחים לאיבר הראשון:



* a1 מצטמצם


ונפתור את האי-שוויון:



* אתה יכול להשתמש במחשבון כאן ולאו דווקא לפרק את הלוגריתמים אבל פשוט רציתי להשתמש בנתון שנתנו בתרגיל.

כלומר מספר המעגלים שצריך על מנת שהיחס בין השטחים ליחס הנתון גדול מ-20.833... אנחנו רוצים מספר מעגלים שלם אז נעגל למעלה ונקבל שמספר המעגלים הדרושים הוא 21...


בהצלחה בהמשך,
איציק

ושלא תגיד שלא השקעתי

פתרתי את הרתגיל הזה לפני יומיים (בדיוק באותה דרך , פלוס מינוס כל מיני הבדלים קוסמטים).

מודה לך מעומק ליבי על ההשקעה !!


משהו ממש קטנוני : עשית שימוש בהנחה סמויה שאסור להשתמש בה (חקרת את האיבר הראשון והשני , והנחת שמדובר בסדרה . כמו שמתמטיקאים אומרים , הדבר עובד רק בפיזיקה , שם עובדים בשיטת נניח,נזניח,נצליח ) . אבל ממש קטנוני , כי אם תעשה את זה בצורה כללית , כלומר במקום R לרשום (R(n ובמקום R תג לרשום R)(n+1) אכן רואים שהיחס בין רדיוס N+1 לבין רדיוס N הוא קבוע 3 .,ללא קשר לאינדקס .

שוב פעם , תודה רבה רבה לך , על ההשקעה , על הציור (עזוב אותך פוטושופ , רק טוב להגדלת חזה של בחורות) .

אותו דבר יצא לי גם עם היחס בין ה-r' ל-r''
ברגע שראיתי שהרדיוס תמיד גודל פי ערך מסויים אני יכול להגיד שזו סדרה ולהשתמש בחוקי הסדרות

אולי הייתי צריך להוסיף זאת....

בכל אופן- הערה חשוובה, תודה