02-11-2009, 00:21
|
|
מנהל משבראש, בלשנות, תכנות ויהדות
|
|
חבר מתאריך: 04.06.06
הודעות: 33,130
|
|
|
אכן, לפי נוסחת אוילר: [TEX]e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}[/TEX], מה שהופך את הטיפול במספרים מרוכבים להרבה יותר פשוט
לדעתי זה חבל שמעדיפים להתמקד ב-'cis' במקום בצורה הנ"ל, היא הופכת הרבה דברים במישור המרוכב ליותר אינטואיטיביים כי היא מנסחת דברים בצורת חזקות שלהם יש כללים מאד פשוטים
דוגמא פשוטה היא הכפלת מספרים מרוכבים, מבחינה גיאומטרית הכפלה במספר מרוכב [TEX]z=r\cdote^{i \vartheta}[/TEX] משמעותה כ"מתיחה פי r" ו-"סיבוב בזוית θ"
אפשר לראות זת בקלות ע"פ הכלל הנ"ל, כי אם לדוגמא [TEX]z=r_2\cdote^{i \vartheta};w=r_1\cdote^{i \varphi}[/TEX], אזי הכפלת w ב-z נותנת:
[TEX]w \cdot z = r_1 e^{i \varphi} \cdot r_2 e^{i \vartheta} = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i \varphi} \cdot e^{i \vartheta} = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{i (\varphi+\vartheta)}[/TEX]
האורך הוכפל ב-[TEX]r_2[/TEX] ולזוית התווספה θ, והכל ע"פ חוקי חזקות הנלמדים בחטיבת הביניים..
עריכה: משפט אויילר הנ"ל כמובן מוביך לזהות אויילר (פשוט מציבים θ = פאי), הנוסחה היפה ביותר בעולם
[TEX]e^{i \pi} + 1 = 0[/TEX]
שילוב של חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים ביותר: 0 (האיבר הניטרלי ביחס לחיבור), 1 (האיבר הניטרלי ביחס לכפל), e (בסיס הלוגריתם הטבעי), i (היחידה המרוכבת) ופאי (היחס בין היקף המעגל לקוטרו שתפקידו במתמטיקה גדול לאין שיעור..)
כולם קשורים יחד בשלושת הפעולות האריתמטיות הבסיסיות ביותר: חיבור, כפל וחזקה.
פשוט יפהפיה
נערך לאחרונה ע"י ShoobyD בתאריך 02-11-2009 בשעה 00:29.
|