שלום יש לי שאלה.
נתונה לי מטריצה A ריבויעת מסדר n. והשאלה היא:
אם B={b1,b2...bn} בסיס ל RN ואם לכל
n=>i>=0
יש פתרון למערכת Ax=bi אז A רגולרית.

אני יודע שיש משפט שאומר שאם למערכת Ax=b יש פתרון אז A רגולרית, אבל פה מדובר על קבוצה חלקית של bים כאלה. החוש אומר לי שהטענה נכונה כי B זה בסיס וכל וקטור אחר יכול להיות מורכב בצירוף ליניארית של B ולכן A רגולרית. אבל איך אני מוכיח (או מפריך אם התחושה שלי לא נכונה) את זה?

תודה רבה מראש!

למעשה ענית בעצמך כבר כמעט על כל השאלה

A רגולרית אם"ם לכל וקטור b במרחב קיים פתרון למערכת Ax=b
ידוע לך שקיים פתרון לכל וקטור בבסיס, אך מכיוון שאת שאר הוקטורים במרחב ניתן להציג כצירוף-לינארי שלהם, נקבל שבאמת לכל וקטור קיים פתרון, והפתרון הוא צירוף-לינארי של הפתרונות של אברי הבסיס, כשהמקדמים הם אותם המקדמים!

פירוט: ניקח וקטור כללי במרחב, לוקטור יש הצגה כצ"ל של הבסיס הנ"ל, כלומר: [TEX]b=\sum_{i=0}^n \alpha_i b_i[/TEX]

ידוע לנו שלאברי הבסיס קיימים פתרונות למערכת, כלומר קיימים [TEX]x_i[/TEX] כך ש: [TEX]Ax_i = b_i[/TEX] לכל [TEX]0 \le i \le n[/TEX]

נסתכל כעת על x, שהוא צ"ל של הפתרונות הנ"ל עם המקדמים של ההצגה של b לפי B
כלומר: [TEX]x=\sum_{i=0}^n \alpha_i x_i[/TEX]

וקטור זה הוא למעשה וקטור הפתרון אותו אנו מחפשים, כי:
[TEX]Ax = A\sum_{i=0}^n \alpha_i x_i = \sum_{i=0}^n \alpha_i Ax_i = \sum_{i=0}^n \alpha_i b_i= b[/TEX]


וזהו

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

תודה רבה!

אין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.