אני שואלת לגבי
חבורות המטריצות ( PSLn(f
חבורות אלה הן פשוטות,
איך אני מוכיחה
ש אם n=2 והשדה F הוא בן 2 או 3 אברים אז הם לא פשוטות ?

ניתן להראות ש-[TEX]\operatorname{PSL}_2(2) \cong S_3[/TEX] ו-[TEX]\operatorname{PSL}_2(3) \cong A_4[/TEX]

(כאשר [TEX]\operatorname{PSL}_n(q) = \operatorname{PSL}_n(\mathbb{F}_q)[/TEX])

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

בטוח שניתן להראות את האיזומורפית ביניהם?

ממה שאני זוכר, כן.
לא זוכר אבל איך


עריכה: מצאתי פה הסבר, אני צריך לעוף עכשיו ואין לי עצבים לבדוק אותו, אבל את מוזמנת

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אופס, שכחתי מזה..

טוב, ניתן להראות את זה בכמה דרכים, זו הפשוטה ביותר שהצלחתי לחשוב עליה:

נתחיל עם [TEX]\operatorname{PSL}_2(2)[/TEX], זו חבורה בעלת 6 איברים שהם למעשה תמורות על שלושת הוקטורים שאינם אפס, במרחב הפרוייקטיבי הנבנה מעל [TEX]\mathbb{Z}_2^2[/TEX]
כלומר תמורות על [TEX]a = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} ,\, b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} ,\, c = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}[/TEX], מכאן שמדובר על [TEX]S_3[/TEX]


חבורה זו גם איזומורפית ל-[TEX]\operatorname{GL}_2(2)[/TEX], למעשה מעל [TEX]\mathbb{Z}_2[/TEX] מתקיים: [TEX]\operatorname{GL}_n(2) \cong \operatorname{SL}_n(2) \cong \operatorname{PGL}_n(2) \cong \operatorname{PSL}_n(2)[/TEX] לכל n, כי כל המטריצות ההפיכות בעלות דטרמיננטה 1, והמרכז הוא רק היחידה.


באותו אופן, [TEX]\operatorname{PSL}_2(3)[/TEX] היא חבורה בעלת 12 איברים שהם למעשה תמורות בשלושת הוקטורים שאינם אפס, במרחב הפרוייקטיבי הנבנה מעל [TEX]\mathbb{Z}_3^2[/TEX]
כלומר תמורות על [TEX]a = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} ,\, b = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} ,\, c = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} ,\, d = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}[/TEX] (שימי לב, מדובר במרחב פרוייקטיבי, בו אין חשיבות לכפל בסקלר, מתקיים שם לדוגמא: [TEX]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = 2\cdot\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}[/TEX])
מסקנה: מדובר על תת-חבורה של [TEX]S_4[/TEX] בעלת 12 איברים, כלומר [TEX]A_4[/TEX]


באופן כללי ניתן לומר שהחבורה [TEX]\operatorname{PSL}_2(q)[/TEX] היא תת-חבורה של [TEX]S_{q+1}[/TEX], כי היא מבצעת תמורה על q+1 הנקודות בישר הפרוייקטיבי



לגבי סדר החבורות הנ"ל, יש לכך נוסחה:
[TEX]|\operatorname{PSL}_n(q)| = \frac{(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{n-1})}{(q-1)(n,q-1)}[/TEX], כאשר [TEX](n,q-1)[/TEX] הוא המחלק המשותף המקסימלי


במקרה הראשון:
[TEX]|\operatorname{PSL}_2(2)| = \frac{(2^2-1)(2^2-2)}{(2-1)(2,2-1)} = \frac{3\cdot 2}{1\cdot 1} = 6[/TEX]

במקרה השני:
[TEX]|\operatorname{PSL}_2(3)| = \frac{(3^2-1)(3^2-3)}{(3-1)(2,3-1)} = \frac{8\cdot 6}{2\cdot 2} = 12[/TEX]


מקווה שעזרתי

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ערת לי מאוד תודה!
ועוד שאלה ( אם אפשר)
כיצד ניתן להוכיח שאם חבורה מסדר k
אז לכל איבר בחבורה מתקיים שהאיבר בחזקת k שווה ל 1
(בלי להסתמך על כך שהסדר של האיבר מחלק את k )

למה לא להסתמך על כך?
משפט לגראנז' הוא יחסית די פשוט

ואין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

זהו -בדיוק!
אני רוצה לדעת איך מוכיחים את משפט לגראנג'??

בעזרת מחלקות של תת-החבורה, כל מחלקה שקולה אליה מבחינת עצמה
ומכיוון שהחבורה עצמה היא איחוד זר של המחלקות, נובע שעצמת החבורה שווה לעצמת תת-החבורה כפול מספר המחלקות

הוכחה מלאה יש בויקיפדיה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.