15-06-2010, 02:49
|
|
מנהל משבראש, בלשנות, תכנות ויהדות
|
|
חבר מתאריך: 04.06.06
הודעות: 33,130
|
|
|
[TEX]\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}[/TEX]
אנו רוצים להמיר לצורה הזאת: [TEX]\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/TEX]
נכפול את השוויון [TEX]\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}[/TEX] במכנה המשותף [TEX](x+1)(x^2-x+1)[/TEX], ונקבל:
[TEX]1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)[/TEX]
[TEX]1 = Ax^2-Ax+A + Bx^2+Bx+Cx+C[/TEX]
[TEX]1 = (A+B)x^2 + (B+C-A)x +(A+C)[/TEX]
אם נשווה מקדמים נקבל 3 משוואות:
[TEX]\begin{cases} A+B=0 \\ B+C-A=0 \\ A+C=1 \end{cases}[/TEX]
לא קשה לפתור ולהגיע לתוצאות: [TEX]A=\tfrac{1}{2} ,\, B=-\tfrac{1}{3} ,\, C=\tfrac{2}{3}[/TEX]
ולכן סה"כ קיבלנו:[TEX]\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{3(x+1)}+\frac{-x+2}{3(x^2-x+1)}[/TEX]
אינטגרל של החלק השמאלי הוא ה-ln ששי הזכיר
|