אני חוזר עכשיו על נושא של סדרות וטורים השונים במתמטיקה כחלק מחומר החזרה לפני התחלת הלימודים שלי לתואר ראשון בהנדסה.

כחלק מהמתעמקות שלי בחומר הזה יצא לי לקרוא ברשת מאמר מעניין מאוד בנושא הנ"ל שבו מוסבר שסדרות וטורים אלגבריים הם בעצם הבסיס לכל מתמטיקה המודרנית, בעזרתם אפשר לייצג כל נושא במתמטיקה, כל נוסחה וכל חוקיות שיש.
המאמר אף מרחיק לכת בכך שהוא אומר שאפילו ניתן לייצג בעזרת סדרות וטורים כל תופעה בפיזיקה המודרנית.

רציתי לדעת מכם האם באמת יש אמת בדברים האלה, והאם סדרות וטורים למיניהם (כלליות, מתמטיות, הנדסיות, מתכנסות מתבדרות וכו') הם באמת נושא בעל חשיבות/משקל רבה כל כך במתמטיקה המודרנית?
אשמח אם תוכלו להביא דוגמה לתופעה בפיזיקה המודרנית/הקלסאית שניתן לייצגה בעזרת טור או סידרה (חוץ מנפילת/זריקת גופים שזה ממש טריוויאלי...).

תודה מראש


תודה מראש

בקצרה: כן
פיתוח לטור - אכן אחד הכלים הכי חשובים בפיזיקה מודרנית. בקשר לכל דבר, אולי המחבר של המאמר קצת הגזים, אבל באמת יש להם הרבה מאוד שימושים בכל מקום שבו מחפשים פתרון מקורב (שזה פחות או יותר תמיד)

!Ph'nglui mglw'nafh Cthulhu Rl'yeh wgah'nagl fhtagn

אני לא רואה כל-כך איך בתחומי מתמטיקה "מופשטים" כמו "טופולוגיה אלגברית", או אפילו סתם אלגברה מופשטת כגון "תורת החבורות", סדרות וטורים נכנסים לעסק ויכולים להוות את "הבסיס של הכל"..
הם מהווים גורם מרכזי בתחומי האנליזה, על זה אין ספק

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אני לא יודע אם אפשר לנסח את כל המתמטיקה באמצעות טורים וסדרות, אבל בפיסיקה אפשר לאמר בזהירות שזה נכון.

משוואות גלים ניתנות למשל לפתרון באמצעות טורי פורייה. זה אומר שכל המכניקה הקוונטית יכולה להיות מנוסחת באמצעות טורי פורייה, משום שהמשוואה היסודית בתורה הזאת (משוואת שרדינגר או משוואת דיראק) היא משוואת גלים. משוואות דיפוזיה גם הן משוואות גלים (במשתנה מדומה) וגם הן ניתנות לפתרון כזה.

באופן מעשי, כאשר מנסים לפתור בעיות תאורטיות בפיסיקה או בכימיה, מפתחים יישום ממוחשב לפתרון. היישומים הללו כמעט תמיד משתמשים ברעיון של טורים. משוואות דיפרנציאליות ואינטגרליות נפתרות כמעט תמיד באמצעות פיתוח בבסיס מסויים. בכימיה קוונטית מפתחים את פונקציית הגל של מערכות גדולות באמצעות גלים מישוריים ( plane waves ), באמצעות פונקציות בסיס ( basis sets ) או באמצעות אינטגרלי פיינמן ( path integrals ). בתורת השדות ובפיסיקה של חלקיקים משתמשים בפיתוח באמצעות דיאגרמות פיינמן. בתרמודינמיקה, מכניקה סטטיסטית ובמכניקה קוונטית משתמשים ב - perturbative expansions לתאר דינמיקה של מערכות פיסיקליות ומצבים מעוררים שלהן.

אפשר להמשיך עוד ועוד, אבל השורה התחתונה היא שבפיסיקה אכן ניתן לנסח "הכל" באמצעות טורים וסדרות. כדאי לציין שפתרונות באצעות טורים עובדים הרבה פעמים גם אם מבחינה תאורטית הם אינם אמורים לעבוד.