15-11-2009, 01:22
|
 |
|
|
חבר מתאריך: 04.11.04
הודעות: 6,986
|
|
מה שאני חושב:
אפשר להתייחס לסדרה הזאת כאל סדרה חשבונית שהאיבר הראשון הוא [tex]\frac{sin\frac{1}{n}}{n}[/tex]
והוא גם הפרש הסדרה (d).
לכן ע"פ משוואת הסכום לסדרה חשבונית (ותסלח לי פה אם אני אדלג על כמה שלבים, זה באמת מתמטיקה פשוטה):
[tex]S_n=(a_1+a_2)\frac{n}{2}=(\frac{sin\frac{1}{n}}{n} +\frac{nsin\frac{1}{n}}{n})\frac{n}{2}=\frac{sin \frac {1}{n}}{2}+\frac{nsin\frac{1}{n}}{2}[/tex]
ועכשיו ידוע ש [tex]\lim_{n \to \infty}nsin\frac{1}{n}=1[/tex] לכן
[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{nsin\frac{1}{n}}{2}=\frac{1}{2}[/tex] וש [tex]\lim_{n \to \infty}\frac{sin\frac{1}{n}}{2}=0[/tex]
ולכן
[tex]\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\cdot sin\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2}[/tex]
או משהו כזה 
נ.ב: אני אשמח לדעת איך מוכיחים ש [tex]\lim_{n\to\infty}nsin\left(\frac{1}{n}\right)=1[/tex]
אני יודע שזה נכון, אבל אני לא מצליח להגיע לזה בעצמי.
נערך לאחרונה ע"י RP. בתאריך 15-11-2009 בשעה 01:30.
|
ראשי
צ'אט
מצב כלאיים
