מסתבר שזאת עונה האלגברה בפורום
שאלה שאמורה להיות די פשוטה:
צ"ל: [tex]g.c.d(a,b)=1 \Leftrightarrow g.c.d(a^2,b^2)=1[/tex]

כיוון אחד פשוט: [tex]g.c.d(a^2,b^2)=1 \Rightarrow g.c.d(a,b)=1[/tex]

הכיוון השני אני מסתבך, בגדול זה הסעיף ה-3 בשאלה, והם "רמזו" להיעזר בסעיפים הקודמים, ששם יש שאלות די דומות.
הכיוון היחידי שיש לי פה זה:
g.c.d(a,b)=1 \Rightarrow ax+by=1 \Rightarrow (ax+by)^{2}=1^2=1

אבל אני לא מגיע פה לכלום...

ורגע לפני פרסום האשכול חשבתי על דרך נוספת, ורציתי לשמוע את דעתכם:
הלכתי על הוכחה בשלילה, הנחתי
[tex]g.c.d(a,b)=c>1[/tex]
והנחתי בשלילה:
[tex]g.c.d(a^2,b^2)=1[/tex]
ע"כ
[tex]g.c.d(a,b)=c \Rightarrow c|a \Rightarrow cx=a[/tex]
באותו אופן עבור b.
והשתמשתי בהנחה והצבתי
[tex]g.c.d(a^2,b^2)=1 \Rightarrow a^2z+b^2{z}'=1 \Rightarrow c^2x^2z+c^2y^2{z}'=c^2(x^2z+y^2{z}')=1[/tex]
c מספר שלם גדול מאחד, וכל שאר המספרים הם גם כן שלמים וע"כ סתירה.

ההוכחה על דרך השלילה נראית לי בסדר

ואם בהוכחה שלא בשלילה חפצה נפשך, אז אתה יכול להסתמך על הטענה הפשוטה שכל מחלק של a הוא מחלק של [TEX]a^2[/TEX], ואותו הדבר לגבי b
ברור שה-gcd של a ו-b הוא מחלק שלהם, ולכן הוא גם מחלק של [TEX]a^2[/TEX] ו-[TEX]b^2[/TEX], ועל כן ה-gcd של [TEX]a^2[/TEX] ו-[TEX]b^2[/TEX] אמור להיות גדול או שווה לזה של a ו-b

למעשה ניתן לומר שאם c מחלק של a, אזי [TEX]c^2[/TEX] הוא מחלק של [TEX]a^2[/TEX], ומכאן שה-gcd של a ו-b בריבוע קטן או שווה מזה של [TEX]a^2[/TEX] ו-[TEX]b^2[/TEX]
זה בעקרון מה שאתה עשית, רק מהכיוון ההפוך

אמרת שהם "רמזו" להיעזר בסעיפים הקודמים, מהם הסעיפים הקודמים?

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

קודם כל תודה על התגובה המהירה
לא כל כך הבנתי את המשפט הבא:

ציטוט:

במקור נכתב על ידי ShoobyD למעשה ניתן לומר שאם c מחלק של a, אזי [TEX]c^2[/TEX] הוא מחלק של [TEX]a^2[/TEX], ומכאן שה-gcd של a ו-b בריבוע קטן או שווה מזה של [TEX]a^2[/TEX] ו-[TEX]b^2[/TEX] זה בעקרון מה שאתה עשית, רק מהכיוון ההפוך

הסעיפים הקודמים:

איזה קטע בדיוק לא הבנת?

אם c מחלק של a, אזי קיים t כלשהו כך ש-a=ct, מכאן [TEX]a^2 = (ct)^2 = c^2 t^2[/TEX] ולכן [TEX]c^2[/TEX] הוא מחלק של [TEX]a^2[/TEX]
אם c הוא מחלק משותף מקסימלי של a ו-b הוא בפרט מחלק של שניהם, ולכן אם נקרא לו c, נקבל כי [TEX]c^2[/TEX] הוא מחלק גם של [TEX]a^2[/TEX] וגם של [TEX]b^2[/TEX]
במילים אחרות, הוא מחלק משותף שלהם, ואם כן, המחלק המשותף המקסימלי אמור להיות גדול או שווה לו



לאחר שיש בפנינו את הסעיפים הקודמים, היה ניתן להוכיח בעוד דרך, להשתמש בסעיף א' פעמיים
הבעייה היא השימוש הכפול בסימון a ו-b, אז אני אוכיח את סעיף ג' עבור s ו-t

בהתחלה נציב a=b=s ו-m=t
עכשיו, מכיוון שנתון כי [TEX](s,t)=1[/TEX] וכן [TEX](s,t)=1[/TEX], נקבל כי [TEX](s^2,t)=1[/TEX] (הסתכל בנוסח סעיף א')

כעת נציב a=b=t ו-[TEX]m=s^2[/TEX]
ומכיוון שנתון כי [TEX](t,s^2)=1[/TEX] וכן [TEX](t,s^2)=1[/TEX], נקבל כי [TEX](t^2,s^2)=1[/TEX] (שוב, הסתכל בנוסח סעיף א')

וזהו

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.