מישהו יודע עליו? כעיקרון, יש לי השכלה תיכונית בלבד במתמטיקה, ולכן אשמח להסבר מפורט

תודה..

משפט אי השלמות של גדל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית.

משפט אי השלמות של קורט גדל הוא משפט יסודי בלוגיקה וענף החוקר את יסודות המתמטיקה. באופן כללי, ניתן לומר שגדל הוכיח שבכל מערכת אקסיומות סופית וגדולה מספיק (מכילה את אקסיומות האריתמטיקה) קיימים משפטים (טענות אמיתיות) שלא ניתן להוכיחן במסגרת אקסיומות אלה בלבד.

[עריכה]


מבוא לא פורמלי

מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך תחושה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחילופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה). גם אם קשה מאוד לפתור בעיה מסוימת, הרי אם יושקעו בה מאמץ וכשרון במידה מספקת - תימצא לה הוכחה נאותה. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, ידע שזו תחושה שלא זכתה להוכחה, אך הוא היטיב לתארה באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: הנה הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת".

בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן האוסטרי (ואחר-כך אמריקני) קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שלתחושה נפלאה זו אין כל בסיס.

משפט אי השלמות של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, שיש בה מספר סופי של אקסיומות, ניתן לנסח משפטים באריתמטיקה שהינם אמת ומתקיימים תמיד, אך הם אינם ניתנים להוכחה מתוך קבוצת האקסיומות הסופית. ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות משפט שכזה.

גדל בעצם הוכיח שעולם המספרים (וממילא עולם המתמטיקה, ויש לדון האם גם עולם הפיזיקה), הוא בלתי נדלה. לעולם לא נמצא את כל האקסיומות של תורת המספרים, כך שנוכל להוכיח באמצעותן כל משפט שהוא אכן נכון. זאת בגלל שיש אינסוף אקסיומות כאלה!

ישנה נקודת אור קטנה בה נוכל לתלות תקווה, ובאם זו תתקיים, תהיינה בידינו כל אינסוף האקסיומות של תורת המספרים. זה במצב שבו תהיה לנו דרך לתאר את הקבוצה האינסופית של האקסיומות על ידי איזהשהו כלל בסיסי. למשל, אם נוכל למצוא אופן להצמיד לכל מספר טבעי אקסיומה כלשהי, או שכל אקסיומה תיבנה באופן רקורסיבי מקודמתה, נוכל בעצם לדעת את כל אקסיומות תורת המספרים. כיום, לא ידוע אם הדבר אפשרי.

רעיון זה הופיע עוד קודם לכן בכתביו של אחד מצמד מחברי "פרינציפיה מתמטיקה", אלפרד נורת' וייטהד. וייטהד טען טענה דומה בספרו "המדע והעולם המודרני" (1925), על כך שכל מערכת טענות תהא פתוחה, באופן זה שיוותרו בה טענות שלא יהיו ניתנות לאישוש או הפרכה. מובן שהוא לא היה הראשון לטעון טענה כזו. בספר השישי לפוליטאה, למשל, מתאר אפלטון את המתמטיקה, ואת כל מדעי הדיאנויה (מחשבה), כמדעים היפותטיים, בהם יש טענות שניתן להניחן אך לא להוכיחן או להפריכן מתוך המערכת עצמה (בדומה לאקסיומות של הגיאומטריה).

[עריכה]


ההשפעה של המשפט

ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטית היתה רבה. משפט אי השלמות למעשה ייתר את תוכנית הילברט ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, המתמטיקאים חדלו בהדרגה לעסוק בנושא הבנייה של יסודות המתמטיקה שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 וזאת עקב תחושת של יאוש מהנושא.

משפט גדל היווה גם הפרכה לתפיסה האקטואליסטית של המתמטיקה, שטענה שהיא כולה צורה ללא תוכן שיצרו בני אדם ושקיים בה רק מה שהאנשים הכניסו לתוכה. גדל הראה שלאובייקטים המתמטים יש תכונות רבות ונוספות מאלה שנתנו להן יוצרם האנושים ובמובן מסוים הם קיים בנפרד מהמחשבה האנושית. ראו דיון מורחב בנושא בערך שלוש מהפכות קופרניקניות.

ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה היתה רבה אף היא, משפט אי השלמות משמש את חסידי העידן החדש על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, כיצד המדע מרשה לעצמו לטעון כי הוא מסוגל להבין את העולם. משפט זה נכרך לעיתים קרובות יחד עם מכניקת הקוונטים בידי גורמים העוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכל.

קפצתי לביקור

1.
"המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, שיש בה מספר סופי של אקסיומות, ניתן לנסח משפטים באריתמטיקה שהינם אמת ומתקיימים תמיד, אך הם אינם ניתנים להוכחה מתוך קבוצת האקסיומות הסופית.
...
גדל בעצם הוכיח שלעולם לא נמצא את כל האקסיומות של תורת המספרים.. זאת בגלל שיש אינסוף אקסיומות כאלה".


-איך משפט ב נובע מ-א? ייתכן שהמשפטים אינם ניתנים להוכחה מתוך הקבוצה הסופית הזו, אך ניתנים להוכחה מתוך קבוצת אקסיומות סופית אחרת. במלים אחרות, ייתכן שיש X קבוצות אסיומות, כאשר מתוך כל קבוצה ניתן לנסח משפטים הניתנים להוכחה באמצעות אקסיומות מאותה קבוצה, או מקבוצה אחרת.


2.
"או שכל אקסיומה תיבנה באופן רקורסיבי מקודמתה"
-האם אין כאן סתירה פנימית?

אין כאן סתירה .
מה שגודל הוכיח הוא שקיימים משפטים שלא ניתן להוכיח אותם על סמך כל האקסיומות הקיימות בעזרת מעברים לוגיים,כעת כמובן ניתן להוסיף אותם בתור אקסיומות, אבל הדבר המעניין הוא שאם נוסיף אותם אז יהיו משפטים חדשים שלא נוכל להוכיח בעזרת כל האקסיומות כרגע.הסיבה היא שהמשפטים שהוא יצר נוצרו בעזרת כל האקסיומות הקיימות - כלומר לא בעזרת כללים לוגיים מהאקסיומות אלא בעזרת כללים שמחוץ ללוגיקה.ולכן משפט זה קובע שקיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם בעזרת כללי לוגיקה , אבל ייתכן וזה דבר חשוב שניתן להוכיחם בדרכים שונות מ"חוץ" ללוגיקה.
ממליץ מאוד לקרוא את משפט גדל מאת ארנסט נאגל וג,ימס ניומן, קיים תרגום בעברית בהוצאת הטכניון מאת יעל הרפז ונצה מובשוביץ.זה ממש מעניין וחכם , ולפי דעתי מי שיודע לוגיקה בצורה בינונית יכול להסתדר עם זה.