נניח שבחרנו בדלת מספר 1, והמנחה פתח את דלת 3. ההסתברות שהמכונית מאחורי דלת 1 היא כמובן.
[tex]$P(C_1)=\frac{1}{3}$[/tex]
כאשר [tex]$C_1$[/tex] מסמן שהמכונית היא מאחורי דלת 1. אנחנו מעוניינים בהסתברות המותנה [tex]$P(C_2|H_3)$[/tex], כאשר [tex]$H_3$[/tex] מסמן שהמנחה פתח את דלת 3. ההתפלגות המותנה מקיימת:
[tex]$P(C_2|H_3)=\frac{P(C_2\cap H_3)}{P(H_3)}=\frac{P(H_3\cap C_2)}{P(H_3)}=\frac{P(H_3|C_2)\times P(C_2)}{P(H_3)}$[/tex]
אנחנו יודעים ש
[tex]$P(C_2)=\frac{1}{3}$[/tex]
ומכיוון שהמנחה חייב לפתוח דלת שמאחוריה יש עז, אזי אם המכונית מאחורי דלת 2 ואנחנו בחרנו בדלת 1 :
[tex]$P(H_3|C_2)=1$[/tex]
נותר רק למצוא את [tex]$P(H_3)$[/tex]. אם נשתמש במרחב האפשרויות השלם נקבל
[tex]$P(H_3)=\sum\limits_{i=1}^3 P(H_3|C_i)\times P(C_i)$[/tex]
ברור ש [tex]$P(H_3|C_3)=0$[/tex] (כי המנחה לא יפתח דלת עם מכונית). כמו כן, בהנחה שהמנחה לא משוחד אזי [tex]$P(H_3|C_1)=1/2$[/tex]. וכזכור [tex]$P(H_3|C_2)=1$[/tex]. קיבלנו
[tex]$P(H_3)=\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\right)+ \left(1\times\frac{1}{3}\right)+\left(0\times\frac {1}{3}\right)=\frac{1}{2}$[/tex]
וכעת נותר להציב
[tex]$P(C_2|H_3)=\frac{1\times\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} =\frac{2}{3}}$[/tex]
ראשי
צ'אט
19-05-2008, 20:47
מצב כלאיים
