השאלה הזאת מכילה פונקציה מתמטית שמעולם לא פגשתי- "הערך השלם":



אם מישהו יוכל להסביר לי כיצד הביטוי הזה משמש אותי לפתרון השאלה, אודה לו עד מאוד .

עריכה: בעעע כמה שטויות אני כותב..
התשובה בתהליך


עריכה 2: פיווו, זהו..

אני חושב שאפשר פשוט להשתמש בכך שלכל x מתקיים [TEX]\left\lfloor x \right\rfloor \le x < \left\lfloor x \right\rfloor + 1[/TEX], או בהקבלה: [TEX]x - 1 < \left\lfloor x \right\rfloor \le x[/TEX]
ואצלנו:
[TEX]\frac{b}{x} - 1 < \left\lfloor \frac{b}{x} \right\rfloor \le \frac{b}{x}[/TEX]

לאחר הכפלה ב-[TEX]\frac{x}{a}[/TEX] מתקבלים 2 מקרים:

או שהנ"ל חיובי ואז סימני אי-השיוויון נשארים כמות שהם: [TEX]\frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x} - \frac{x}{a} = \frac{x}{a} \cdot \left(\frac{b}{x} - 1\right) < \frac{x}{a} \cdot \left\lfloor \frac{b}{x} \right\rfloor \le \frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x}[/TEX]
או שהנ"ל שלילי ואז הסימנים מתהפכים: [TEX]\frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x} - \frac{x}{a} = \frac{x}{a} \cdot \left(\frac{b}{x} - 1\right) \ge \frac{x}{a} \cdot \left\lfloor \frac{b}{x} \right\rfloor > \frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x}[/TEX]

בכל מקרה, ע"פ כלל הסנדביץ' אתה מקבל שהגבול קיים והוא [TEX]\frac{b}{a}[/TEX] (שאליו מתכנסים 2 הצדדים)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אהא... או.קיי, אני אעבור על זה, תודה .

נ.ב- ניתן לקבל מעט ייעוץ במטריצות או שהטבלאות מחוץ לתחום?

קיבלת מעט

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

זה אמור להיות שם:

או שהנ"ל שלילי ואז הסימנים מתהפכים: [TEX]\frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x} - \frac{x}{a} = \frac{x}{a} \cdot \left(\frac{b}{x} - 1\right) > \frac{x}{a} \cdot \left\lfloor \frac{b}{x} \right\rfloor \ge \frac{x}{a} \cdot \frac{b}{x}[/TEX]

המיקום של ה"גדול" וה-"גדול או שווה" הפוך..

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שאלה בעלת פחות הפתעות אולם עניין ההוכחה בעזרת הגדרה (אם הביטוי נכון, לא מצאתי דוגמה נגדית) עדיין לא ברור לי:



כל שאני צריך הוא כיוון כללי כיצד יש לפתור את זה ואני בטוח שאוכל להמשיך משם .

בתודה מראש.

אני מצאתי דוגמא נגדית...תזכור שמינוס אינסוף לא שווה לפלוס אינסוף.

חשבתי על זה- הכוונה היא בעצם שבמנה אני מקבל איזה ביטוי שהגבול שלו הוא אינסוף, אך בהפרש הביטוי בצד ימין (שלפניו המינוס) גדול יותר מהביטוי משמאל.

הבעיה שלא עולה לי שום פונקציה שעושה את שני הטריקים האלה :X.

תשובה נמצאת בתוך בספויילר:

זהירות - ספויילר!

[tex]f(x)=2x[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

אבל אז: [TEX]\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 2[/TEX]



לי דווקא הטענה נשמעת הגיונית
אם [TEX]\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty[/TEX] אזי f שואפת לאינסוף "יותר מהר" מ-x

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הטענה נכונה וההוכחה מורכבת (תמחלו לי אם אשמור אותו לעצמי).

זה ספויילר לסרט הלא נכון....

פיתרון מבית היוצר שלי XD

כיוון שיש גבול ל[tex]f(x)\over x[/tex] אז מתקיים:
לכל M>0 קיים N>0 כך שלכל x>N מתקיים [tex]\frac{f(x)}{x} < M[/tex] ולכן:
[tex]f(x)<Mx[/tex]
[tex]f(x)-x<Mx-x=x(M-1)[/tex]

לכל M-1>0 ולכל N>1 מתקיים:
[tex]f(x)-x<Mx-x=x(M-1)<N(M-1)[/tex]

הגענו לכך שלכל M-1>0 קיים N>1 כך שלכל x>N מתקיים [tex]f(x)-x<N(M-1)[/tex]
זוהי בעצם הגדרת הגבול ל-[tex]f(x)-x[/tex] (באגף ימין מופיה הN אך הוא לא מפריע) ולכן קיים הגבול והוא שואף ל[tex]\infty[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

יש פה כמה בעיות
הבעיה העיקרית זה שאמרת שלכל M, קיים N, כך שלכל n>N מתקיים f(x)/x<M
וזה לא נכון
זה צריך להיות: לכל M, קיים N, כך שלכל n>N מתקיים f(x)/x>M
חוץ מזה לא ברורים לי המעברים שלך בין x ל-N...אבל זה לא משנה, הקטע הזה הוא הבעייתי

יש לך טעות בהגדרת הגבול
הגבול אמור להיות אינסוף, ולכן הביטוי אמור להיות גדול מכל M (עבור x-ים גדולים מספיק), בעוד שאתה חסמת אותו

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הפעם ניצחתי! P:

|מסיר כובע|

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

שים לב לעריכה
משמעות הגבול הנתון הזה היא שעבור X-ים גדולים מאוד, ערכי הפונקציה [tex]f(x)\over x[/tex] יהיו גדולים מכל M גדול כלשהו.

הגדרת הפורמלית לגבול אינסופי באינסוף עבור הפונ' [tex]f(x)[/tex] היא:
לכל [tex]M>0[/tex] קיים [tex]N>0[/tex] כך שלכל [tex]x>N[/tex] מתקיים [tex]f(x)>M[/tex]
שים לב שגם הבגדרה הפורמלית הם הגבילו את M וN לערכים שגדולים מ-0. הם לא פשוט אמרו "לכל M קיים N". למה להם מותר להגביל ולי לא?

זה שקבעתי שN>1 ושM>1 זה לא פוגע במהות הגבול - עדיין עבור X-ים גדולים מאוד ערכי הפונ' גדולים מM גדול כלשהו.

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

הכוונה הייתה ל-

ציטוט:

במקור נכתב על ידי hzhz [tex]\frac{f(x)}{x} < M[/tex]

שאמור להיות [tex]\frac{f(x)}{x} > M[/tex] כמו שתיקנת למטה
שוב, "הביטוי אמור להיות גדול מכל M בעוד שאתה חסמת אותו"


אבדוק את התיקון שלך בהזזדמנות

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי hzhz פיתרון מבית היוצר שלי XD כיוון שיש גבול ל[tex]f(x)\over x[/tex] אז מתקיים: לכל M>0 קיים N>0 כך שלכל x>N מתקיים [tex]\frac{f(x)}{x} > M[/tex] ולכן: [tex]f(x)>Mx[/tex] [tex]f(x)-x>Mx-x=x(M-1)[/tex] לכל M-1>0 ולכל x>N>1 מתקיים: [tex]f(x)-x>Mx-x=x(M-1)>N(M-1)[/tex] הגענו לכך שלכל M-1>0 קיים N>1 כך שלכל x>N מתקיים [tex]f(x)-x>N(M-1)[/tex] זוהי בעצם הגדרת הגבול ל-[tex]f(x)-x[/tex] (באגף ימין מופיה הN אך הוא לא מפריע) ולכן קיים הגבול והוא שואף ל[tex]\infty[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

לאחר שעיינתי בהוכחה:

ציטוט:

במקור נכתב על ידי hzhz כיוון שיש גבול ... מתקיים: לכל M>0 קיים N>0 כך שלכל x>N ....

ואז הפך:

ציטוט:

במקור נכתב על ידי hzhz לכל M-1>0 ולכל N>1 מתקיים: ...

זה לא נכון, זה לא מתקיים לכל N>1 אלא עבור N ספציפי התלוי ב-M

אולי אפשר לנסות לתקן זאת איכשהו, אבל אין לי כח כרגע

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

חח לא הבנת אותי..

ציטוט:

לכל M-1>0 ולכל x>N>1 מתקיים:

אני מתכוון שאם נניח שM>1 ושN>1 אז מתקיים (לפי הקשר שמעל):

[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29-x%3EMx-x=x%28M-1%29%3EN%28M-1%29]


כלומר [tex]x(M-1)>N(M-1)[/tex] מתקיים רק כאשר M>1 ו-N>1.

במחשבה שניה אין חובה שN>1.. מספיק שN>0 (כמו בהגדרה הפורמלית)

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

הטעות היא לוגית, במעבר מ"קיים" ל-"לכל"

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אבל ה"לכל" לא קשור בכלל..

ציטוט:

פיתרון מבית היוצר שלי XD כיוון שיש גבול ל [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29%5Cover%20x] אז מתקיים: לכל M>0 קיים N>0 כך שלכל x>N מתקיים [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bx%7D%20%3E%20M] ולכן: [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29%3EMx] [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29-x%3EMx-x=x%28M-1%29] אם נניח שN>1 וM>1 אז מתקיים [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29-x%3EMx-x=x%28M-1%29%3EN%28M-1%29] הגענו לכך שלכל M-1>0 קיים N>1 כך שלכל x>N מתקיים [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29-x%3EN%28M-1%29] זוהי בעצם הגדרת הגבול ל- [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?f%28x%29-x] (באגף ימין מופיה הN אך הוא לא מפריע) ולכן קיים הגבול והוא שואף ל [התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://tex.fresh.co.il/?%5Cinfty]

עוזר?
אגב, כמו שאמרתי אני חושב עכשיו שאין צורך שN>1 ומספיק שN>0, כי גם כשN>0 מתקיים [tex]x(M-1>N(M-1)[/tex]

https://www.youtube.com/watch?v=0HRGczvZINQ&noembed

חשבתי שה"לכל" מופיע גם בשורה האחרונה שלך..
אם כך אני חושב שזה תקין

ויש צורך ב-N>1 כי אחרת הוא יכול להקטין את M-1

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.