בוקר טוב!

כמדי סוף שבוע, גם הפעם בתוכניתנו "הכה את המומחה" אני אגיש שאלות, אנסה למצוא נתיב בג'ונגל המתמטי ושובי יציל אותי ואותכם כשנשקע בבוץ. אז בלי עוד הקדמות, השאלה-



ביצעתי דירוג וחישבתי את הערכים- בשביל [TEX] m \neq 2,-1 [/TEX] יש פתרונות, כש-m שווה לאותם ערכים אין פתרונות ולא קיימים ערכים בשבילם יש אינסוף פתרונות. הבעיה שהדרך בה עשיתי היא פשוט פתרון פולינום והצבת הערכים; אני מניח שיש קיים איזשהו יחס בין המבנה של המטריצה למס' הפתרונות שלה והשאלה היא כמובן- מהו אותו יחס?.

בתודה מראש .

למה אתה קורא "פתרון פולינום והצבת הערכים"?

אחד הקשרים הפשוטים בין מטריצה A למס' הפתרונות של המערכת [TEX]Ax = b[/TEX] הוא הדטרמיננטה של A

• למטריצה בעלת דטרמיננטה שונה מאפס יש פתרון יחיד לכל וקטור עמודה b
  תנאי זה שקול לכך שהיא הפיכה, ולכך שקיימת מטריצה אחרת כך שהמכפלה שלהן היא מטריצת היחידה, או גם לכך שניתן לדרג אותה למטריצת היחידה
  למעשה יש שלל תנאים שקולים
  
  
• אם הדטרמיננטה שווה לאפס מספר הפתרונות יכול להיות 0 או אינסוף, תלוי בוקטור הפתרונות b
  כדי לברר מה מהם נכון, מדרגים את המטריצה המורחבת, מטריצה המורכבת מ-A ו-b: [TEX]\left(A|b\right)[/TEX] (ואם מדרגים לצורה קנונית גם ניתן לראות ישירות את הפתרונות)
  

  • 0 פתרונות יהיו כאשר בשורות המטריצה המדורגת קיימת "סתירה", כלומר 2 שורות המתחילות אותו הדבר, אך האיבר האחרון בהן שונה
    מבחינה רעיונית, מתקבל משהו כגון: x+y=2 וגם x+y=17, וברור שאין זה הגיוני
    לחלופין, אם מתקבלת שורת אפסים שהאיבר האחרון בה שונה מאפס (כמו הנ"ל, רק לאחר החסרת שורות)
    
    
  • מספר הפתרונות יהיה אינסוף אם מקבלים שורה כפולה
    או לחלופין שורת אפסים מלאה (שוב, כמו הנ"ל, רק לאחר החסרת שורות)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

חוץ מהמילים "מטריצה" ו"ווקטור", לא הבנתי דבר; אך זה בסדר- עדיין לא למדתי על מה אתה מדבר (ובכל מקרה יש קשר בין דרגת המטריצה בצורה קנונית לבין מס' הפתרונות).

תודה בכל מקרה .

עניין הדרגה מופיע ב"שלל תנאים שקולים" (סעיף 6)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

להלן המטריצה:



דירגתי את המטריצה, עד לצורה הזו-
[TEX] \begin {matrix} 4 & 8 & 4 & 3*\alpha & 3*\beta\\ 0 & 0 & \alpha- \frac {1} {4} & 2- \frac {3*\alpha} {4} & \frac {\beta} {4} \\ 0 & 0 & 0 & -\frac {\alpha} {2} & \frac {-\beta} {2} \ \end{matrix} [/TEX],
בדקתי דרגות בכל מקרה ונתקלתי בבעיה- לפי החישובים שלי גם סעיף ה' וגם סעיף ב' נכונים.

אפשרי שהדירוג שלי אינו נכון, או משהו בשיקולים שלי...

בתודה מראש .

אני הגעתי למשהו כזה:
[TEX] \begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & \vline & 0 \\ 0 & 0 & \alpha- 1 & 2 & \vline & \beta \\ 0 & 0 & 0 & \alpha & \vline & \beta \end{pmatrix} [/TEX]
יכול להיות שאם תמשיך לשחק עם שלך תגיע גם אתה לזה


ניתן לראות בבירור מהשורה האחרונה שאם α שווה לאפס אז לא קיים פתרון במקרה ש-β שונה ממנו
אך אם α=1 נקבל מטריצה:
[TEX] \begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & \vline & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & \vline & \beta \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vline & \beta \end{pmatrix} [/TEX]
שגם בה אין פתרון לכל β השונה מאפס (כי אז יש סתירה בין השורה השנייה והשלישית)

משמע תשובה ה' אינה נכונה
מה שאומר שגם תשובה ב' אינה נכונה (כי אין כאן תנאי של "אם ורק אם")
למעשה הכתוב מעלה הוא בדיוק תשובה ד', ועל כן היא הנכונה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

אלך אם כן לשחק עם המטריצה עד שאקבל אותה בצורה הזו... תודה .

אין בעד מה


דבר ראשון אתה יכול להכפיל את השורה האחרונה במינוס 2 ולקבל פשוט אלפא וביתא (כמו אצלי)
אז להחסיר אותם מהשורה העליונה לאפס את האיברים הימניים
לחלק אותה ב-4
וכבר הגעת ל-2 שורות כמו אצלי
זה ממבט קצר

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.