יש לי את המטריצה הבאה:

קוד:

7,-12,-6
6,-11,-6
-8, 16, 9

כדי לחשב ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים אני הופך אותה ל-

קוד:

7-x,-12,-6
6,-11-x,-6
-8, 16, 9-x

עכשיו אני אמור להשוות את הדטרמיננטה ל-0.
אבל במקרה של המטריצה הזאת זה יקח איזה חצי שעה, בהתחשב שזה סעיף קטן במבחן אני מניח שאפשר איכשהו לצמצם פה משהו.

לפני שהוספתי את ה-X היה אפשר לצמצם ב-3 את העמודה השלישית אבל:
1. אני לא יודע אם מותר לי לעשות את זה
2. זה לא היה מקל בהרבה

אז לעניינינו, יש פה איזה טריק או משהו?
מותר לי לצמצם את המטריצה בהתחלה?

נ.ב
ראיתי אנשים כותבים מסודר כל מני סמלים מתמטיים כאן, איך עושים את זה?

ישנם מספר כללים חשובים לגבי הדטרמיננטה העוזרים לפשט אותה

1. החלפת 2 שורות מחליפה לדטרמיננטה סימן
2. הכפלת שורה בסקלר מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר
3. הוספת שורה מוכפלת בסקלר כלשהו לשורה אחרת אינה משנה את הדטרמיננטה <-- כלל חשוב
4. דטרמיננטה של מטריצה משוחלפת שווה לדטרמיננטה של המקורית
(ישנם כמובן עוד כללים)

מהכלל הרביעי נובע למעשה ששאר הכללים נכונים גם עבור פעולות על עמודות המטריצה


במקרה שלנו המטריצה היא:
[TEX] \begin {pmatrix} 7-\lambda & -12 & -6 \\ 6 & -11-\lambda & -6 \\ -8 & 16 & 9-\lambda \end{pmatrix} [/TEX]

ניתן לראות שחיסור השורה השנייה מהראשונה תאפס את האיבר הפינתי הימני העליון (ולא ישנה את הדטרמיננטה לפי כלל 3 דלעייל)

[TEX] \begin {pmatrix} 1- \lambda & -1+\lambda & 0 \\ 6 & -11-\lambda & -6 \\ -8 & 16 & 9-\lambda \end{pmatrix} [/TEX]

עכשיו חיבור העמודה השמאלית כפול 2 לעמודה האמצעית תאפס את האיבר האמצעי התחתון (ושוב לא ישנה את הדטר' לפי כלל 3 על העמודות)

[TEX] \begin {pmatrix} 1- \lambda & 1-\lambda & 0 \\ 6 & 1-\lambda & -6 \\ -8 & 16 & 9-\lambda \end{pmatrix} [/TEX]


מפה כבר ניתן לפתח דטר' בקלות לדעתי, דבר ראשון ניתן לראות שאחד הערכים העצמיים הוא 1, זה לפי פיתוח ע"פ השורה העליונה (או העמודה האמצעית)
בסופו של דבר נקבל:
[TEX](1- \lambda) \cdot[(1- \lambda)(9- \lambda) - 6(9-\lambda) + 6\cdot 8] = 0[/TEX]

נפתח קצת:
[TEX](1- \lambda) \cdot[(1- \lambda)(9- \lambda) - 54 + 6\lambda + 48] = 0[/TEX]

[TEX](1- \lambda) \cdot[(1- \lambda)(9- \lambda) -6 + 6\lambda] = 0[/TEX]

[TEX](1- \lambda) \cdot[(1- \lambda)(9- \lambda) - 6(1 - \lambda)] = 0[/TEX]

[TEX](1- \lambda)^2 \cdot[9 - \lambda - 6] = 0[/TEX]

[TEX](1- \lambda)^2 \cdot (3 - \lambda) = 0[/TEX]

מכאן כבר אין בעייה להבין מה הערכים העצמיים ואף מה הריבוב האלגברי שלהם



לגבי איך כותבים את הסימנים המתמטיים בפורום, צריך לדעת קצת [TEX]\LaTeX[/TEX]..
פה יש מספר קישורים מועילים: http://www.fresh.co.il/vBulletin/sh...ad.php?t=381483

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

תודה רבה על הפירוט.

אין בעד מה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.