התרגיל:

Electric Field
A thin ring is consists of two semi-rings, each of which is charged homogeneously but with the opposite charges,
[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://physweb.bgu.ac.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20+q]
and
[התמונה הבאה מגיעה מקישור שלא מתחיל ב https ולכן לא הוטמעה בדף כדי לשמור על https תקין: http://physweb.bgu.ac.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20-q]
. Find the electric field on the ring axis.

הגישה שלי לתרגיל הייתה כזאת-
נמקם את הטבעת על מישור [tex]yz[/tex]
כאשר מרכז הטבעת יושב על ציר [tex]x[/tex].

מצאתי אלמנט אינפיניטיסמלי של השדה [tex]\vec E(\vec r)[/tex] כאשר
כאשר [tex]\vec r=(x,0,0)[/tex]
ואז פשוט תכננתי לבצע 2 אינטגרלים
האלמנט הוא

[tex]\large d\vec E = k{\lambda} \frac{Rd\vartheta}{(x^2+R^2)^\frac{3}{2}}(x,-Rsin\vartheta,-Rcos \vartheta) \qquad {\lambda}= \pm\frac{q}{\pi R}[/tex]

טטא זו הזוית שרצה על הטבעת במישור [tex]yz[/tex]

ועכשיו לעניננו
איך עושים לדבר הזה אינטגרציה? הבנתי שאת זה אני אלמד בחדוא 2 אבל מה לעשות ומסתבר שאין סנכרון בין המרצים.
אשמח לקבל הסברים בעניין האינטגרל(זה אמור להיות קשור איכשהו לנגזרת חלקית של איקס).

כמו כן, האם לדעתכם יש דרך יפה\נוחה\אלגנטית יותר לפתרון התרגיל?
(אבל לא משהו שמתבסס על טעמי סימטריה... משום מה רוצים שנמנע מזה)


תודה מראש

מצורף איור שאולי ימחיש את הכוונה שלי

נניח שאתה מניח את הראשית במרכז הטבעת כך שחצי טבעת עם מטען חיובי נמצא כולו בחצי השלילי של הישר y והחצי השלילי נמצא בחצי החיובי של השיר y אז אפשר להראות שהכוח בכל נקודה על ציר הסימטריה של הטבעת יהיה בכיוון y החיובי. אפשר מטעמי סימטריה ואפשר מחישובי אינטגרל.. זה חייב להתאפס.
אני מניח שהנחת את הטבעת כמוני. בעצם קיבלת 3 משוואות (אחת לכל כיוון). תחשב אינטגרל על כל ציר בנפרד וככה תקבל את הרכיב הסופי של השדה.
אם הסימטריה לא מספקת אותך אז האינטגרל שלך הוא מ0 עד פי ועוד מפי עד 2 פי כאשר אתה מחליף את הצפיפות לצפיפות שלילית. אז האינטגרל על רכיב Z יתן לך 0 בשני המקרים (מהאינטגרל תקבל סינוס וסינוס 0 מינוס סינוס פי (כנ"ל לגבי האינטגרל בקטע של צפיפות שלילית) שווה 0).
בציר x האינטגרל נראה אותו דבר (בצפיפות שלילית וחיובית) אז תקבל שני רכיבים בכיוון x באותו גודל אך בסימן הפוך ולכן מבטלים אחד את השני. לגבי רכיב y לא נשאר הרבה לחשב...

אני מחפש את הפתרון המתמטי לאינטגרל הזה.

אתה בטוח יודע לעשות אינטגרל על פונקציית הסינוס.. אני חושב שסתם נדמה לך שזה אינטגרל קשה... תסתכל מה המשתנה אינטגרציה שלך.. כל שאר האברים אתה יכול להוציא מהאינטגרל ונשארת רק עם סינוס טטה די טטה ואז תקבל את הרכיב בכיוון Y... ושאר הרכיבים מתאפסים כמו שהסברתי

עבור החלק החיובי של הטבעת:
[tex]\vec E=\int^{\pi}_0 \frac{k{\lambda}R^2sin{\theta}d\theta}{(R^2+x^2)^{ \frac{3}{2}}} = -\frac{k{\lambda}R^2(cos\pi-cos0)}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2k{\lambda}R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}[/tex]

עבור החלק השלילי של הטבעת:
[tex]\vec E=\int^{2\pi}_{\pi} \frac{k{(-)\lambda}R^2sin{\theta}d\theta}{(R^2+x^2)^{\frac{3 }{2}}} = -\frac{k{(-)\lambda}R^2(cos2\pi-cos\pi)}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2k{\lambda}R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}[/tex]

כבר הסברתי שהכיוון שלהם הוא ציר y לכן סה"כ השדה
[tex]\vec E= \frac{4k{\lambda}R^2}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}\hat {y}[/tex]

רק עכשיו שמתי לב כמה חומוס יצאתי