שלום יש לי שאלה באלגברה ליניארית.
אם יש לי קבוצת וקטורים
[tex]\{a_1, a_2, ... a_m\}[/tex]
בשביל שהיא תפרוש את
[tex]R^n[/tex]
חייבים להתקיים שתי תנאים:
1. n=m
2. למערכת הבאה יהיה פתרון
[tex]\lambda_1a_1 + \lamdba_2a_2 + ... \lambda_ma_m = 0[/tex]
(כל a זה כמובן וקטור, אני לא יודע איך ב latex עושים קו תחתון מתחת לאות)
שהוא פתרון
[tex]\lambda_1 = \lambda_2 = .... =\lambda_m = 0[/tex]
אני צודק? כלומר בגדול בשביל שקבוצת וקטורים תפרוש את [tex]R^n[/tex] איברי הקבוצה חייבית להיות בילתי תלויים ליניארית, וכמות האיברים בקבוצה חייב להיות שווה ל n?

תודה רבה!

התנאים שאמרת מקיימים שהקבוצה היא בסיס ל Rn.
אם אתה רוצה שהם רק יפרשו את Rn אתה צריך שיהיו בקבוצה לפחות n וקטורים, ומהם n וקטורים כלשהם בת"ל... יש איזה הבדל דק בין שתי הדרישות ויכולים להיות אפילו יותר בקבוצה שפורשת. אגב כל הוקטורים אמורים להיות ב Rn כלומר הקבוצה שלך צריכה להיות תת-קבוצה ב Rn.

בשביל בסיס אתה צריך בדיוק m ווקטורים בת"ל.
m וקטורים הם בת"ל <==> l1*a1 +l2*a2...+lm*am למשוואה זו פתרון יחיד והוא הפתרון הטרוויאלי, ז"א l1,l2,...lm=0

שבשביל פריסה אין שום בעיה לקחת m וקטורים בלתי תלויים ולהוסיף להם עוד כמה שרק תרצה וקטורים...
בכדי לקבל בסיס למרחב אתה צריך בדיוק
m ווקטורים בלתי תלויים.

** ברור ש l1=l2=l2...=lm=0 הוא פתרון(זה נקראה פתרון טרוויאלי), והוא מן הסתם תמיד קיים למשוואה הומוגנית- אתה צריך להראות שזהו הפתרון היחיד...

תוספת לנאמר מעליי: ההגדרה של קבוצה פורשת מרחב היא שכל וקטור במרחב ניתן להצגה כצירוף לינארי של וקטורים בקבוצה הפורשת, אין שום תנאי של תלות לינארית
קבוצה שהיא גם פורשת וגם בלתי-תלויה לינארית מהווה בסיס, ובבסיס מספר האיברים הוא כמימדו של המרחב


תוספת 2: אם תיקח את כל [TEX]\mathbb{R}^n[/TEX] כקבוצה, אזי היא תפרוש את עצמה, וברור שיש בה מעל n אברים..


תוספת אחרונה (בינתיים): קו-תחתי ב-[TEX]\LaTeX[/TEX] ניתן לעשות בעזרת הפקודה underline, אך פשוט יותר להשתמש ב-vec לחץ עליון

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

הגדרה- קבוצה פורסת: קבוצה שמכילה בסיס.

לא, הגדרה ישנה רק אחת, מה שכתבתי, כל השאר אלו משפטים שנובעים מההגדרה
לדוגמא על מה שכתבת, בסיס היא קבוצה פורשת מעצם הגדרתו, וכל קבוצה המכילה קבוצה פורשת גם היא כמובן פורשת, מסקנה: קבוצה שמכילה בסיס היא פורשת..

לא סתם קוראים ל"פרישה לינארית" בשם זה, הקבוצה "נפרשת" על המרחב באופן לינארי (כלומר ע"י צירופים לינארים)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

מעניין- מאיפה לקחת את זה?
יש המון הגדרות שקולות לכל דבר אפשרי.

מה זה חדש לך? כל אקסיאומה\הגדרה אפשר להחליף במשפט שקול, ואז להפוך את האקסיאומה למשפט.

הגדרה ספציפית לגבי פרישה לינארית יש רק אחת, לדברים אחרים יכולים להיות מספר הגדרות שקולות, אבל "פרישה לינארית" היא מילולית פרישה שהיא לינארית..
זה כמו שתטען שלקבוצה הריקה יש הגדרה אחרת מלבד היותה ריקה, נכון, יש לכך תנאים שקולים שיכלת לקחת בתור הגדרה, אבל המשמעות המילולית שלהם לא תהיה "קבוצה שהיא ריקה"

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

גם לזה אפשר למצוא הגדרה אחרת.
אני באמת לא אתחיל עכישיו לבנות את כל 6 האקסיאומות מחדש(של תורת הקבוצות), אבל אני משוכנע שאפשר להגדיר אותם אחרת- כך שההגדרה לקבוצה ריקה תהיה סתם לדוגמא- לכל קבוצה P
P איחוד קבוצה ריקה=P.

לגבי פריסה: היה אפשר להתחיל בהגדרה של אי תלות- משם לעבור לבסיס, ואז לפריסה.
נכון שזה היה משנה את האסיאומות, אבל זו לא הנקודה, הנקודה היא שאין דבר כזה הגדרה יחידה.

התנאי שהבאת, למרות שהוא שקול לכך שהקבוצה ריקה, משמעותו הפשוטה היא לא כזאת
אתה יכול מצדי לקרוא לתכונה הזאת אדיכלות (קיצור של "אדישות לגבי הכלה"), וזו תהיה ההגדרה שלו, כי זו המשמעות המילולית והפשוטה שלו
קבוצה A היא אדיכלה אמ"מ לכך קבוצה אחרת P מתקיים שאיחוד A עם P שווה ל-P
ואז כמובן שתוכל להוכיח שתכונות הריקנות והאדיכלות הן שקולות

הנקודה היא שההגדרות לא באות סתם, יש בדר"כ משמעות למונחים בהם משתמשים (אולי לא מעבירים את זה מספיק בקורסי המתמטיקה..)

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

המטרה היא לפשט עד כמה שאפשר, ולהניח כמה שפחות.
אני מסכים, אבל להגיד שהגדרה יש רק אחת...? זה פשוט לא מדוייק.

הרי תמיד תוכל למצוא אוסף אקסיאומות שקולות, להחליף הגדרות באחרות.

אבל שוב, אז המשמעות המילולית שלהן תהיה שונה
להגדיר תכונה אחת באופן מתמטי ע"י תכונה אחרת, אפילו אם היא שקולה, זה לא דבר יעיל בעליל

אתה צריך לעשות את ההבחנה בין הגדרות שיש להן משמעות מילולית, כמו פרישה לינארית וקבוצה ריקה דלעייל, ובין הגדרות שרירותיות, כמו הגדרות של מבנים אלגבריים: חבורה, שדה, מרחב וקטורי..
אם תשנה את ההגדרה של חבורה ע"י כך שתחליף את אחת האקסיומות באחרת שקולה לה, לא עשית כלום, כי אין קשר מילולי בין השם "חבורה" לאקסיומות המתארות את המבנה האלגברי הנקרא בשם זה

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.

תודה רבה לכולם!