שלום לכולם,

יש לי מספר שאלות ב-4 יח"ל שאני לא מצליח לפתור, אשמח אם תעזרו לי..

בעיות גידול ודעיכה:
שאלה 1:
זמן מחצית החיים של חומר רדיו-אקטיבי הוא 5 שנים.
א. כעבור כמה זמן תקטן כמות החומר עד ל-20% מהכמות ההתחלתית?
ב. אם כיום נותרה במעבדה כמות של 350 גר' מהחומר הנ"ל, איזה כמות תוותר ממנו בעוד שנתיים?
ג. בעוד כמה שנים, החל מהיום, יוותר מהחומר פחות מ-5 גרם.?

שאלה 2:
בתאריך 1/1/1990 קנה אדם מגרש באיזור המיועד לבנייה.
עד לתאריך 1/1/1994 ירד ערך המגרש כל שנה באחוז קבוע, בסה"כ ב-4 השנים הראשונות מיום הקנייה, ירד ערך המגרש ב-40%.
א. מצא את האחוז הקבוע שבו ירד ערך המגרש.
ב. בתאריך 1/1/1994 התקבל אישור לתכניות בנייה באיזור. עם קבלת האישור עלה ערך המגרש כל שנה באחוז הגדל פי 1.5 מהאחוז שבו ירד ערכו כל שנה לפני כן. מצא כעבור כמה שנים מהתאריך 1/1/1994, יהיה ערך המגרש גדול ב-40% מערכו ביום הקנייה.

פונקצ' טריגו':

שאלה 3:
א. מצא עבור אילו ערכי X בתחום בין 0 ל-פאי, המשיק לפונק' y=2x-sinx*cosx מקביל לישר y=3x+1.
ב. מצא את תחומי העליה והירידה של הפונק' הנ"ל בתחום מ-0 עד פאי.

שאלה 4.
באופן כללי, מה אני צריך לעשות כאשר נתון לי y=k ורוצים שאני אמצא את ערכי K לפונקציה נתונה, כאשר נתון שהישר y=k חותך פונקציה נתונה ב-2 נקודות.

אני יודע שזה די הרבה שאלות, אבל אני די צריך עזרה בהן,
אני אשמח אם התשובות יהיו עם דרך כדי שאני אבין מה צריך לעשות.

תודה רבה לכל העוזרים.

בבעיות גידול ודעיכה מעולם לא התעסקתי, אז אענה על שאלות 3ו-4...

3. שואלים אותך בעצם מתי השיפוע של הפונק' שווה לשיפוע הישר, ז"א: [TEX]y'(x)=3[/TEX]
4. ישר מסוג y=k (כאשר k הוא מספר קבוע) מקביל לציר ה-x, הכי פשוט זה לשרטט את גרף הפונקציה (ז"א אחרי ביצוע חקירה) ופשוט לראות בעין באיזה תחום אפשר להעביר קווים אשר חותכים את הפונק' בשתי נקודות.

ציטוט:

במקור נכתב על ידי Michael Shermer Smart people are very good at rationalizing things they came to believe for non-smart reasons.

נזכיר תחילה את הנוסחה הבסיסית לגידול ודעיכה:
[TEX]f(t) = f(0)a^t[/TEX]

1. נתון שזמן מחצית החיים הוא 5 שנים, ולכן [TEX]a^5 = \tfrac{1}{2}[/TEX] כאשר t מסמל את אותו זמן, כי אז הכמות יורדת בחצי ([TEX]f(5) = \tfrac{1}{2}f(0)[/TEX])
מכאן נמצא את a: [TEX]a = \sqrt[5]{\tfrac{1}{2}} \approx 0.87[/TEX]

כעת נענה על הסעיפים:
א) "כעבור כמה זמן תקטן כמות החומר עד ל-20% מהכמות ההתחלתית?"
כלומר, אנו מחפשים t עבורו יתקיים [TEX]a^t = 0.2[/TEX]
[TEX]t = \log_a{0.2} \approx \log_{0.87}{0.2} \approx 11.6[/TEX]

ב) [TEX]f(0) = 350[/TEX], צריך למצוא את [TEX]f(2)[/TEX]
[TEX]f(2) = f(0)a^2 \approx 350\cdot 0.87^2 = 265.25[/TEX]

ג) כנ"ל [TEX]f(0) = 350[/TEX], צריך למצוא את ה-t השלם הראשון עבורו [TEX]f(t) \le 5[/TEX]
נמצא תחילה מתי מתקיים שוויון: [TEX]5 = f(t) = f(0)a^t = 350a^t[/TEX]
[TEX]\tfrac{5}{350} = a^t[/TEX]
[TEX]t = \log_a{\tfrac{5}{350}} \approx \log_{0.87}{\tfrac{5}{350}} \approx 30.5[/TEX]
ועל כן, בשנה ה-31 הכמות תרד מתחת ל-5 גרם.




2. נתון שלאחר 4 שנים, הערך ירד ב-40%, כלומר 0.6 מהערך המקורי, ולכן [TEX]a^4 = 0.6[/TEX], מכאן נמצא את a: [TEX]a = \sqrt[4]{0.6} \approx 0.88[/TEX]

מכאן:
א) אחוז הירידה הקבוע הוא כ-12%

ב) אני מקווה שהבנתי נכון את השאלה..
אחוז הגידול הוא פי 1.5 מאחוז הירידה שהיה, כלומר 12%*1.5 = 18%
קבוע הגידול החדש הוא לפיכך [TEX]b = 1 + \tfrac{18}{100} = 1.18[/TEX]
אנו רוצים למצוא מתי הערך יהיה גדול ב-40% מהערך המקורי, כלומר הזמן t בו שוויו יהיה [TEX]f_g(t) = 1.4 f_d(0)[/TEX]
כאשר [TEX]f_d(t) = f_d(0)a^t[/TEX] היא פונקציית הדעיכה של 4 השנים הראשונות, ו-[TEX]f_g(t) = f_g(0)b^t[/TEX] היא פונקציית הגידול של לאחר מכן
מהנתון הראשוני ידוע לנו כי [TEX]f_g(0) = 0.6f_d(0)[/TEX], כי לאחר 4 השנים הראשונות הערך ירד ב-40%, וזו נקודת ההתחלה של פונקציית הגידול

בסופו של דבר רצינו למצוא: [TEX]f_g(t) = f_g(0)b^t = 0.6f_d(0)b^t = 1.4 f_d(0)[/TEX]
כלומר t עבורו [TEX]0.6b^t = 1.4[/TEX]
[TEX]b^t = \tfrac{1.4}{0.6} = \tfrac{7}{3} [/TEX]
[TEX]t = \log_b{\tfrac{7}{3}} \approx \log_{1.18}{\tfrac{7}{3}} \approx 5.12[/TEX]
ולכן רק בשנה הששית של הגידול יהיה ערך המגרש גדול ב-40%
נוסיף לכך את 4 השנים של הדעיכה ונקבל 10 שנים סה"כ, כלומר שנת 2000



מקווה שהייתי מובן


עריכה: בפתרונות הנ"ל השתמשתי בדיוק יותר גדול ממה שכתבתי פה, כך שהתשובות שתקבל אם תשתמש בערכים המקורבים יכולים להיות שונים

תוספים לפורום
קורס לטינית בלעדי לפרש, בפורום שפות ובלשנות.