מצא את מספר הפתרונות של המשוואה e^x=ax^2 כתלות בפרמטר a.

אומנם הצלחתי לפתור את התרגיל, בדרך קצת הזויה לדעתי(נראה לי מסובך מדי).

נבחין דבר ראשון כי a>0, אחרת וודאי שאין פתרון.

e^(x/2)=+-(a^0.5*x)

ואז פרקתי לשני מקרים x>0, לאן משני אגפים. ומקרה שני x<0 כנ"ל.

1) y=x/2 -0.5lna -lnx כאשר x>0
y=x/2 -0.5lna -ln(-x) כאשר x<0

(ומשם הכל כרגיל מצאתי נגזרת, משקולי רציפות+נק מינימום מקסימום..)

העניין הוא שזה יצא ממש ארוך, ומסורבל(יחסית לחדווא רמת מכללות לכימאים), אשמח לראות פתרון אלגנטי ופשוט יותר(שאוכל אשכרה להסביר אותו לסטודנט שאני עוזר לו).

אממ... כן, אתה לא בכיוון.

כדי להוכיח שקיים לפחות שורש אחד יש להעביר את את הביטויים לאותו צד של המשוואה ולמצוא גבולות.
הגבול באינסוף הוא אינסוף, הגבול במינוס אינסוף הוא מינוס אינסוף ועקב רציפות הפונקציה ומשפט ערך הביניים הפונקציה חותכת את הציר הX לפחות פעם אחת.
הרי לך פתרון ראשון.

נניח כי קיים פתרון שני, אם קיים כזה, הרי שעל פי משפט רול קיימת נקודה בה הנגזרת מתאפסת. תגזור את המשוואה ואכן קיימת נקודה כזו (שוב על פי גבולות ומשפט ערך הביניים).
הרי לך פתרון שני.

נניח כי קיים פתרון שלישי, בצורה דומה (משפט רול, קיימת נקודה בה הנגרת מתאפסת, בלה בלה בלה) אכן קיימת נקודה כזו.

נניח כי קיים פתרון רביעי, בצורה דומה נמשיך לנגזור ונקבל e^x=0. למשוואה הזו אין פתרון ולכן לא קיים פתרון רביעי.

מ.ש.ל

אני לא בכוון? הרי אמרתי שהצלחתי לפתור, רק בדרך מסורבלת למדי.. ע"י נגזרת מסדר ראשון ומשפט ערך הבניים, וגם מן הסתם שמוש בגבולות.

אשמח אם תוכל לפרט יותר(קצת פחות ניפינופיי ידיים), בכל מקרה אכן באמת יש במקרים מסויימים 3 פתרונות, עבור "איי-ם" מסויימים יש 2 פתרונות, ולכל "אי" חיובי מן הסתם יש לכל הפחות פתרון אחד, אפשר לראות זאת בקלות גם ע"י התבוננות בעיין, בסקיצה של שני הפונקציות הפשוטות הללו.

ציטוט:

נניח כי קיים פתרון שני, אם קיים כזה, הרי שעל פי משפט רול קיימת נקודה בה הנגזרת מתאפסת. תגזור את המשוואה ואכן קיימת נקודה כזו (שוב על פי גבולות ומשפט ערך הביניים). הרי לך פתרון שני.

עריכה
הנה כאן יש לך, טעות, משפט רול(ממש לא זכרתי מהו, אבל עכשיו הזכרת לי שקיים כזה ), הבעייה בטענה שלך, שאתה משתמש במשפטרול בצורה שגוייה, כל מה שמשפט רול אומר, שאם יש לנו פונקציה רציפה בקע פתוח (a,b), כך ש f(a)=f(b), אזי קיימת c, נקודה פנימית של קטעה הפתוח (a,b), כך של נגזרת בנקודה זו מתאפסת.. אתה לפי מה שאני מבין, השתמשת בכוון הלא נכון של המשפט(המשפט הוא לא אא"ם), במלים אחרות, מכך שהנגזרת מתאפסת, אין להסיק על קיום שורש שני..

אסביר.


מניח כי a חיובי:
בודק גבולות באינסוף ובמינוס אינסוף.
מוצא נקודות קיצון, בודק תחומים היכן הפונקציה עולה או יורדת ע"י הצבה במשוואה, ע"פ משפט ערך הביניים רואה היכן הפונקציה חותכת את ציר הX.

בצורה דומה עבור a שלילי (שם הגבולות מקבלים ערכים שונים מהמקרה הקודם).

עבור a=0 אין פתרון.


(אגב, בשום מקום לא טענתי שקיימים 3 פתרונות עבור כל a [למה שאכתוב דבר כזה?]. לגבי ההערה השניה שלך בעריכה, אכן כך, המשפט הוא כמובן לא אמ"מ, אך ע"י איפוס הנגזרת ובדיקת תחומי התנהגות של פונקציה, בנוסף לגבולות, בהחלט ניתן לקבוע שרשים - כפי שהסברתי בפירוט רב יותר, כך אני מקווה, בהודעתי זו).

מתנצל שהדבר נראה כנפנוף ידיים, אני קצר בזמן (יום הסטודנט היום!).

אם בכל זאת משהו לא מובן, ספר היכן נתקעת, אם צריך, אפתור (כמעט) עד הסוף.

ציטוט:

מניח כי a חיובי: בודק גבולות באינסוף ובמינוס אינסוף. מוצא נקודות קיצון, בודק תחומים היכן הפונקציה עולה או יורדת ע"י הצבה במשוואה, ע"פ משפט ערך הביניים רואה היכן הפונקציה חותכת את ציר הX.

זהו, שבדיוק בשלב של מציאת שורשי הנגזרת נתקעתי.., ובגלל זה הסתבכתי עם התרגיל הזה קרוב לשעה, בגלל זה באה הוצאת השורש, אני חשבתי שכנראה פספתי משהו, ובטח יש פתרון קצר יותר..

ציטוט:

מתנצל שהדבר נראה כנפנוף ידיים, אני קצר בזמן (יום הסטודנט היום!).

ואללה! תהנה!

ציטוט:

אם בכל זאת משהו לא מובן, ספר היכן נתקעת, אם צריך, אפתור (כמעט) עד הסוף.

זהו, שזו בעיה למצוא שורשים של הנגזרת הראשונה, בדיוק כמו הבעיה למצוא את השורים של הפונקציה עצמה(אלה אם כן פספסתי משהו..).